A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :  – Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. – Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.  – Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ N, m ≥ n ta có : xm : xn = xm-n (nếu m > n) xm : xn = 1 (nếu m = n) (xm)n = xm.n x0 = 1   ;   1n = 1 (-x)n = xn nếu n là một số chẵn (-x)n = -xn nếu n là số lẻ (x – y)2 = (y – x)2 (x – y)n = (y – x)n với n là số chẵn

2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

3. Định lý Bezout

 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất

x – a là f(a)

Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0

B. BÀI TẬP DẠNG 1 : CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.

a) 10x³y²z : (-4xy²z)

b) x²y³z⁴ : y²z

c) 25x⁴y⁵z³ : (-3xy²z)

d) 5x³y²z : (-2xyz)

e) (-12x⁵y⁴) : (-4x²y)

f) (- xy⁵z) : (- xy⁴)

g) x³y⁴ : x³y

h) 18x²y²z : 6xyz

k) 27x⁴y²z  : 9x4y

m) 5x³y : xy

DẠNG 2 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.

a) (4x⁵ – 8x³) : (-2x³)

b) (9x³ – 12x² + 3x) : (-3x)

c) (xy² + 4x²y³ – 3x³y⁴) : (-2xy²)

d) (-3x²y³ + 4x³y⁴ – y⁴y⁵) : (- x²y³)

e) [2(x – y)³ – 7(y – x)² – (y – x)] : (x – y)

f) [3(x – y)⁵ – 2(x – y)⁴ + 3(x – y)²] : [5(x – y)²]

DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC

Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.

a) (2x³ – 5x² – x + 1) : (2x + 1)

b) (x³ – 2x + 4) : (x + 2)

c) (6x³ – 19x² + 23x – 12) : (2x – 3)

d) (x⁴ – 2x³ – 1 + 2x) : (x2 – 1)

e) (6x³ – 5x² + 4x – 1) : (2x² – x + 1)

f) (x4 – 5x² + 4) : (x² – 3x + 2)

g) ( x³ – 2x² – 5x + 6 ) : ( x + 2 )

h) ( x³ – 2x² + 5x + 8) : ( x + 1 )

DẠNG 4 : TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC

Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.

a) A = x⁴ + 3x³ + 2x² – x – 4 và B = x² – 2x + 3

b) A = 2x³ – 3x² + 6x – 4 và B = x2 – x + 3

c) A = 2x⁴ + x³ + 3x² + 4x + 9 và B = x² + 1

d) A = 2x³ – 11x² + 19x – 6 và B = x² – 3x + 1

e) A = 2x⁴ – x³ – x² – x + 1 và B = x² + 1

Phương pháp giải : Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.

DẠNG 5 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B

Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n3 – 4n2 – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.

Giải :

Thực hiện phép chia 4n³ – 4n² – n + 4 cho 2n + 1, ta được :

4n³ – 4n² – n + 4 = (2n + 1).(n² + 1) + 3

Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :

2n + 1 = 3  n = 1

2n + 1 = 1  n = 0

2n + 1 = -3  n = -2

2n + 1 = -1  n = -1

Vậy n =  1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.

a) A = 8x² – 26x + m và B = 2x – 3

b) A = x³ + 4x² + 4x + m và B = x + 3

c) A = x³ – 13x + m và B = x² + 4x + 3

d) A = x⁴ + 5x³ – x² – 17x + m + 4 và B = x² + 2x – 3

e) A = 2x⁴ + mx³ – mx – 2 và B = x² – 1

Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:

A = x3 + 4×2 + 3x – 7

B = x + 4

a) Tính A : B

b) Tìm x Z sao cho A chia hết cho B

Bài toán 7 : Tìm x, biết.

a) (8x² – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8

b) (2x⁴ – 3x³ + x²) : (- x²) + 4(x – 1)² = 0

Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.

a) A = 8n² – 4n + 1 và B = 2n + 1

b) A = 3n³ + 8n² – 15n + 6 và B = 3n – 1

c) A = 4n³ – 2n² – 6n + 5 và B = 2n – 1

DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout

Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :

a) Khi f(x) = x³ + 2x² – 4x + 3 chia cho x – 2

b) Khi f(x) = x⁴ – 3x² + 2x – 1 chia cho x + 1

c) Khi f(x) = x³ – 3x² + 4x – 5 chia cho x – 2

d) Khi f(x) = x²⁷ + x⁹ + x³ + x chia cho x – 1

Bài toán 10 : Chứng minh :

a) x⁵⁰ + x¹⁰ + 1 chia hết cho x²⁰ + x¹⁰ + 1

b) x²⁰¹² + x²⁰⁰⁸ + 1 chia hết cho x² + x + 1