1 Quy tắc

- Ví dụ : Nhân đa thức x-2 với đa thức 6x²-5x+1

- Gợi ý + Hãy nhân mỗi hạng tử của đa thức x-2 với đa thức 6x²-5x+1

             + Hãy cộng các kết quả vừa tìm được ( chú ý dấu của các hạng tử )

- Hướng dẫn

(x-2)(6x²-5x+1)=x(6x²-5x+1)-2(6x²-5x+1)

                              =x6x²+x(-5x)+x1+(-2)6x²+(-2)(-5x)+(-2)1

                              =6x³-5x²+x-12x²+10x-2

                              =6x³-17x²+11x-2

- Ta nói đa thức 6x³-17x²+11x-2 là tích của đa thức x-2 và đa thức 6x²-5x+1

- Tổng quát , ta có quy tắc nhân đa thức với đa thức như sau : Muốn nhân một đa thức với một đa thức , ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

==) Nhận xét : Tích của hai đa thức là một đa thức

(?) Nhân đa thức $\frac{1}{2}$xy-1 với đa thức x³-2x-6

- Hướng dẫn : 

Ta có: ($\frac{1}{2}$xy-1)(x³-2x-6)

=$\frac{1}{2}$xy(x³-2x-6)-1.(x³-2x-6)

=$\frac{1}{2}$xy.x³-$\frac{1}{2}$xy.2x-$\frac{1}{2}$xy.6-(x³-2x-6)

=$\frac{1}{2}$xy.x³-$\frac{1}{2}$xy.2x-$\frac{1}{2}$xy.6-x³+2x+6

=$\frac{1}{2}$x⁴y-x²y-3xy-x³+2x+6

=$\frac{1}{2}$x⁴y-x³-x²y-3xy+2x+6

- Chú ý : Khi nhân đa thức của một biến ở ví dụ trên , ta còn có thể trình bày như sau : 

	6x2-5x+1
$\times$	x-2
	-12x2+10x-2
$+$	6x3-5x2+x
	6x3-17x2+11x-2

- Ở cách này , trước kết quả ta phải sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến, sau đó trình bày như sau : 
- Đa thức này viết dưới đa thức kia
- Kết quả của phép nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ hai với đa thức thức nhất được viết riêng trong 1 dòng
- Các đơn thức đồng dạng được xếp vào cùng một cột
- Cộng theo từng cột
2 Áp dụng
(?) làm tính nhân

 

a) (x+3)(x²+3x-5)
b) (xy-a)(xy+5)

- Hướng dẫn : 
a) (x + 3)(x² + 3x – 5)
= x.(x² + 3x – 5) + 3.(x² + 3x – 5)
= x.x² + x.3x + x.(–5) + 3.x² + 3.3x + 3.(–5)
= x³ + 3x2 – 5x + 3x2 + 9x – 15
= x³ + (3x² + 3x²) + (9x – 5x) – 15
= x³ + 6x² + 4x – 15.

b) (xy – 1)(xy + 5)
= xy.(xy + 5) + (–1).(xy + 5)
= xy.xy + xy.5 + (–1).xy + (–1).5
= x²y² + 5xy – xy – 5
= x²y²+ 4xy – 5.

 (?) Viết biểu thức tính diện tích của 1 hình chữ nhật theo x và y , biết 2 kích thước của hình chữ nhật đó là (2x+y) và (2x-y)
- Áp dụng : Tính diện tích của hình chữ nhật khi x=2,5 mét và y=1 mét
- Hướng dẫn : 
Biểu thức tính diện tích hình chữ nhật là:

 

S = (2x + y).(2x – y)
   = 2x.(2x – y) + y.(2x – y)
   = 2x.2x + 2x.(–y) + y.2x + y.(–y)
   = 4x² – 2xy + 2xy – y²
   = 4x² – y²

Áp dụng : khi x = 2,5 mét và y = 1 mét
⇒ S = 4.2,52 – 12 = 4.6,25 – 1 = 25 – 1 = 24
Vậy diện tích của hình chữ nhật là: 24 mét vuông

 

Bài tập

7. làm tính nhân
a) (x²-2x+1)(x-1)
b) (x³-2x²+x-1)(5-x)
- Hướng dẫn : 
a) (x² – 2x + 1)( x – 1)
   = x².(x – 1) + (–2x).(x – 1) + 1.(x – 1)
   = x².x + x².(– 1) + (– 2x).x + (–2x).(–1) + 1.x + 1.(–1)
   = x³ – x² – 2x² + 2x + x – 1
   = x³ – (x² + 2x²) + (2x + x) – 1
   = x³ – 3x² + 3x – 1

b) (x³ – 2x² + x – 1)(5 – x)
   = (x³ – 2x² + x – 1).5 + (x³ – 2x² + x – 1).(–x)
   = x³.5 + (–2x²).5 + x.5 + (–1).5 + x³.(–x) + (–2x²).(–x) + x.(–x) + (–1).(–x)
   = 5x³ – 10x² + 5x – 5 – x⁴ + 2x³ – x² + x
   = –x⁴ + (5x³ + 2x³) – (10x² + x²) + (5x + x) – 5
   = –x⁴ + 7x³ – 11x² + 6x – 5

Ta có:
(x³ – 2x² + x – 1).(x – 5)
= (x³ – 2x² + x – 1).[–(5 – x)]
= – (x³ – 2x² + x – 1).(5 – x)
= – (–x⁴ + 7x³ – 11x² + 6x – 5)
= x⁴ – 7x³ + 11x² – 6x + 5.

8. Làm tính nhân : 
a) (x²y²-$\frac{1}{2}$xy+2y)(x-2y)
b) (x²-xy+y²)(x+y)
- Hướng dẫn : 
a) = (x²y² - $\frac{1}{2}$xy + 2y)(x – 2y) 
    = x³y²-2x²y³-($\frac{1}{2}$).x²y + xy² + 2xy - 4y²

b) = (x² – xy + y²)(x + y)
    = x³ + x²y – x²y – xy² + xy² + y³ 
    = x³ + y³

9. Điền kết quả tính được vào bảng : 

Giá trị của x và y	Giá trị của biểu thức (x-y)(x2+xy+y2​)
x=-10; y=2
x=-1; y=0
x=2; y=-1
x=-0,5; y=1,25
Trường hợp cuối có thể dùng máy tính bỏ túi để tính.

- Hướng dẫn : 

A = (x – y).(x² + xy + y²)
   = x.(x² + xy + y²) + (–y).(x² + xy + y²)
   = x.x² + x.xy + x.y² + (–y).x² + (–y).xy + (–y).y²
   = x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
   = x³ – y3^​ + (x²y – x²y) + (xy² – xy²)
   = x³ – y³.

Tại x = –10, y = 2 thì A = (–10)³ – 23 = –1000 – 8 = –1008
Tại x = –1 ; y = 0 thì A = (–1)³ – 03 = –1 – 0 = –1
Tại x = 2 ; y = –1 thì A = 23 – (–1)³ = 8 – (–1) = 9
Tại x = –0,5 ; y = 1,25 thì A = (–0,5)³ – 1,253 = –0,125 – 1,953125 = –2,078125
Vậy ta có bảng sau :

Giá trị của x và y	Giá trị của biểu thức (x-y)(x2+xy+y2​)
x=-10; y=2	-1008
x=-1; y=0	-1
x=2; y=-1	9
x=-0,5; y=1,25	–2,078125

 

Luyện tập

10. Thực hiện phép tính : 
a) (x²-2x+3)($\frac{1}{2}$x-5)
b) (x²-2xy+y²)(x-y)

- Hướng dẫn : 

a) (x²-2x+3)($\frac{1}{2}$x-5)

=  (x²-2x+3).$\frac{1}{2}$x+(x²-2x+3)..(-5)

= x².$\frac{1}{2}$x+(-2x).$\frac{1}{2}$x+3.$\frac{1}{2}$x+x².(-5)+(-2x).(-5)+3.(-5)

=$\frac{1}{2}$x³-x²+$\frac{3}{2}$x-5x²+10x-15

=$\frac{1}{2}$x³-(x²+5x²​)+($\frac{3}{2}$x+10x)-15

=$\frac{1}{2}$x³-6x²​+$\frac{23}{2}$x-15

b) (x²-2xy+y²)(x-y)

   = (x² – 2xy + y²).x + (x² – 2xy + y²).(–y)
   = x².x + (–2xy).x + y².x + x².(–y) + (–2xy).(–y) + y².(–y)
   = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
   = x³ – (2x²y + x²y) + (xy² + 2xy²) – y³
   = x³ – 3x²y + 3xy2 – y³.

11. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(x-5)(2x+3)-2x(x-3)+x+7

- Hướng dẫn : 

 

 

 

Có: (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x +7
= 2x2 - 10x + 3x - 15 - 2x2 + 6x + x + 7
= (2x2 - 2x2) - (10x - 3x - 7x - x) - (15 - 7)
= 0 - 0 - 8
= -8
Vậy giá trị của biểu thức trên không phụ thuốc vào biến x

- Hướng dẫn : 
Rút gọn biểu thức:
A = (x² – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x²)
   = x².(x + 3) + (–5).(x + 3) + x.(x – x²) + 4.(x – x²)
   = x².x + x².3 + (–5).x + (–5).3 + x.x + x.(–x²) + 4.x + 4.(–x²)
   = x³ + 3x² – 5x – 15 + x² – x³ + 4x – 4x²
   = (x³ – x³) + (3x² + x² – 4x²) + (4x – 5x) – 15
   = –x – 15.

a) Nếu x = 0 thì A = –0 – 15 = –15
b) Nếu x = 15 thì A = –15 – 15 = –30
c) Nếu x = –15 thì A = –(–15) – 15 = 15 – 15 = 0
d) Nếu x = 0,15 thì A = –0,15 – 15 = –15,15

13. Tìm x , biết : 
(12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x)=81
- Hướng dẫn : 
VT = (12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 16x)
     = 12x.(4x – 1) + (–5).(4x – 1) + 3x.(1 – 16x) + (–7).(1 – 16x)
     = 12x.4x+ 12x.(–1) + (–5).4x + (–5).(–1) + 3x.1 + 3x.(–16x) + (–7).1 + (–7).(–16x)
     = 48x2 – 12x – 20x + 5 + 3x – 48x2 – 7 + 112x
     = (48x2 – 48x2) + (– 12x – 20x + 3x + 112x) + (5 – 7)
     = 83x – 2
Vậy ta có:
83x – 2 = 81
       83x = 81 + 2
       83x = 83
           x = 83 : 83
           x = 1.

14. Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp , biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192
- Hướng dẫn : 
gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp đó là a,a+2,a+4 (a∈∈N)
Có: tích của hai số sau lớn hơn tích của 2 số đầu là 192
=> (a+2)(a+4)-(a+2)a=192
a²+4a+2a+8-a²-2a=192
(a²-a²)+(4a+2a-2a)+8=192
4a=192-8
4a=184
a=46
=> {a+2=46+2=48,a+4=46+4=50}
vậy ba số tự nhiên chẵn liên tiếp cần tìm lần lượt là: 46,48,50

 

 

 

15. Làm tính nhân 

a) ($\frac{1}{2}$x+y)($\frac{1}{2}$x+y)

b) (x-$\frac{1}{2}$y)(x-$\frac{1}{2}$y)

- Hướng dẫn

a) ($\frac{1}{2}$x+y)($\frac{1}{2}$x+y)

=$\frac{1}{2}$x($\frac{1}{2}$x+y)+y.($\frac{1}{2}$x+y)

=$\frac{1}{2}$x.$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$x.y=y.$\frac{1}{2}$x+y.y

=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{2}$xy+y²

=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$xy+y²

b) (x-$\frac{1}{2}$y)(x-$\frac{1}{2}$y)

=x(x-$\frac{1}{2}$y)+(-$\frac{1}{2}$y)(x-$\frac{1}{2}$y)

=x.x+x.(-$\frac{1}{2}$y)+(-$\frac{1}{2}$y).x+(-$\frac{1}{2}$y).(-$\frac{1}{2}$y)

=x²-$\frac{1}{2}$xy-$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{4}$y²

=x²-xy+$\frac{1}{4}$y²​