Toán cấp 2 hướng dẫn các em cách làm các dạng toán về Tỉ lệ thức ở lớp 7 qua các ví dụ có phương pháp giải chi tiết dễ hiểu.

Trước tiên các em học sinh cần nắm vững được định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

và bổ sung thêm: Nếu: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=K thì\frac{K_1.a+K_2.b+K_3.e}{K_1.b+K_{2}d+K_3.f}=K$

Các dạng Toán tỉ lệ thức lớp 7:

DẠNG 1: Tìm thành phần chưa biết của tỷ lệ thức (hoặc dãy tỷ số bằng nhau)

Ví dụ 1:    Tìm các số x,y,z  biết. 5.x=8.y=20.z    và    x – y – z = 3.

**Có thể định hướng học sinh giải theo 3 cách

*Để tìm được 3 số x, y, z cần sử dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của  dãy tỷ số bằng nhau. Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết  của  bài toán, biến đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau.

Cách 1.

Vì 5x = 8y ⇒  $\frac{x}{8}=\frac{y}{5}$    (1)

8y = 20z  ⇒   $\frac{y}{20}=\frac{z}{8}\Rightarrow \frac{y}{5}=\frac{z}{2}$(2)

Từ (1) và (2)  ⇒  $\frac{x}{8}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}$

*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của bài toán.

Cách 2:

Vì  $5.x=8.y=20.z\Rightarrow \frac{x}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=\frac{y}{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{z}{{\displaystyle \frac{1}{20}}}=...$

Cách 3:

5x=8y=20z

Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 )  là 40 ta được.

$\frac{5x}{40}=\frac{8y}{40}=\frac{20z}{40}\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}=...$

Trong các cách giải trên: Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhưng hơi dài.

Cách 2: Ngắn song bước biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu)

Cách 3: Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn.

Ví dụ 2:  Tìm  x, y  biết

$\frac{2x+1}{5}=\frac{3y-2}{7}=\frac{2x+3y-1}{6x}$

*Hướng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có cách làm hợp lý:

Bài tập tự giải:

Bài 1.  Tìm 3 số x, y, z   biết.

$\frac{4}{x+1}=\frac{2}{y-2}=\frac{3}{z+2}$  và   x.y.z  = 12

Bài 2.  Tìm  x, y  biết.

$\frac{y^2-x^2}{3}=\frac{x^2+y^2}{5}$   và  x¹⁰.  y¹⁰     =   1024

Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là  5:7:8.

DẠNG 2. Chứng minh tỷ lệ thức

Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm vững phương pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng minh đẳng thức ở các lớp trên. Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi  hiểu và chứng minh được các tính chất của tỷ lệ thức và tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau.

Ví du 1:   Cho tỷ lệ thức    $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ne 1$ Với  a, b, c, d ≠ 0

Chứng minh rằng :       $\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$

Giáo viên định hướng cho học sinh các cách chứng minh.

Cách 1.  Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a.d=b.c$

Để có được tỷ lệ thức (Điều cần chứng minh) cần có hai tích bằng nhau. Ta biến đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai.

Xét tích

(a-b). c  = a.c – b.c

= a.c – a.d

= a.(c-d)   

 (Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$   ⇒ a.d   =  b.c   Đặt thừa số chung)

Vậy (a-b).c  = a.(c-d)   ⇒   

$\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$

Cách 2. Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số đó bằng tỷ số thứ 3.

Đặt     $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=b.K\\ c=d.K\end{array}\right.$

Nếu có:

$\frac{a-b}{a}=\frac{b.K-b}{b.K}=\frac{b(K-1)}{b.K}=\frac{K-1}{K} \left(1\right)$

$\frac{c-d}{c}=\frac{d.K-d}{d.K}=\frac{d(K-1)}{K}\left(2\right)$

Từ (1) và (2)   ⇒  $\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$

**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai vế để chúng có cùng một giá trị.

Cách 3. Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Rightarrow 1-\frac{b}{a}=1=\frac{d}{c}$

$\Rightarrow \frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$

*Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét các cách giải. Giáo viên chốt lại cách nào hay  vận dụng và giải quyết được nhiều bài toán nhất. Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý.

Ví dụ 2.   Cho        $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(c\ne \pm \frac{3}{5}d)$

CMR:         $\frac{5a+3b}{5c+3d}=\frac{5a-3b}{5c-3d}$

Cách 1. Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.

Cách 2. Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.

Đặt    $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=K$.  Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng  $\frac{b}{a}$

Bài tập tự giải:

Bài 1.   Cho   b²   =   a.c.  Chứng minh rằng:  $\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}$

Bài 2.   Cho   $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ne \pm 1 và c\ne 0$

CM rằng:      ${\left(\frac{a-b}{c-d}\right)}^2=\frac{a.b}{c.d}$

Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2005}}{a_{2006}}$   

Thì có thể suy ra được biểu thức.

$\frac{a_1}{a_{2006}}={\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2005}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2006}}\right)}^{2005}$

DẠNG 3. Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1:   Cho bốn số  a, b, c, d;    Sao cho a + b + c + d  ≠ 0

Biết         $\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=K$

Tính giá trị của   K.

Cách 1.   Áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta được.

$\frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=K\Rightarrow K=3$

Cách 2.  Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số 

 ⇒  a  =  b  =  c  =  d ⇒  K=3

Bài tập tự giải:

Bài 1:  Biết  $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}=4 và a\text{'}+3b\text{'}-2c\text{'} \ne 0$

Tính giá trị của biểu thức  $P=\frac{a+3b-2c}{a\text{'}+3b-2c\text{'}}$

Bài 2.   Cho    $m=\frac{x+2y-3z}{x-2y+3z}$

Tính giá trị của  M   biết các số  x, y, z    tỷ lệ với   5; 4; 3.

Bài 3.  Cho các số A, B, C  tỷ lệ với các số  a, b, c.

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức.   $Q=\frac{A.x+B.y+C}{a.x+b.y+c}$ Không phụ thuộc vào giá trị của x,y.