Để so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên chúng ta cần nắm được định nghĩa, tính chất của lũy thừa và phương pháp so sánh mà Toán cấp 2 chia sẻ dưới đây.

Trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên.

* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $a^n=a.a.a.a.a....a$ ( n thừa số a với a ∈ Q ).

Qui ước: $a^0=1(a\ne 0) và a^1=a$.

* Các phép tính luỹ thừa:

– Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: $a^m.a^n=a^{m+n}$

– Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : $a^m:a^n=a^{m-n}(a\ne 0;m\ge n)$

– Luỹ thừa của một tích: ${(a.b)}^n=a^n.b^n$

– Luỹ thừa của một thương: ${(a:b)}^n=a^n:b^n(b\ne 0)$

– Luỹ thừa của luỹ thừa: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n}$

– Luỹ thừa tầng: $a^{m^n}=a^{\left(m^n\right)}$

Ví dụ: $3^{2^3=3^8}$

– Luỹ thừa với số mũ âm: a ^{− n} = $\frac{1}{a^n}$ ( a ≠ 0 )

Ví dụ: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}$

Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên

I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .

– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số:

+ Khi cơ số lớn hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn: $a^m>a^n(a>1)\Rightarrow m>n$

+ Khi cơ số nhỏ hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ bé hơn: $a^m>a^n(a<1)\Rightarrow m>n$

+ Khi cơ số bằng 1, thì hai luỹ thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên.

– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . $a^n>b^n(n>0)\Rightarrow a>b$

II/ Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng trong tích:

Xét: aⁿ biến đổi được về dạng: c.d^k

b^m biến đổi được về dạng: e^p.q^hh

+ Nếu ck k⇒ aⁿ>b^m

+ Nếu c>e thì c.d^k>e.d^k ⇒ aⁿ>b^m

III/ Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:

Nếu A > B và B > C thì A > C

Nếu A . C < B . C (với C > 0 ) ⇒ A < B

IV/ Phương pháp 4:

Xét: aⁿ biến đổi được về dạng: c^q.d^k

b^m biến đổi được về dạng: e^p.q^hh

Nếu c^qp và d^k < g^h thì c^q.d^k < e^p.g^h.