Chuyên đề Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ thuộc chương trình Đại số 7. Dưới đây là lý thuyết cần ghi nhớ và ví dụ minh họa có lời giải.

Cuối cùng là bài tập tự giải. Chúc các em học tốt.

A. Kiến thức cơ bản

1. Cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ

a. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Viết hai số hữu tỉ x, y dưới dạng : $x=\frac{a}{m};y=\frac{b}{m}(a, b, m, \in Z, m>0)$

Khi đó ta có: 

$x+y=\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$

$x-y=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$

b. Nhân chia hai số hữu tỉ:

Với hai số hữu tỉ: $x=\frac{a}{b}; y=\frac{c}{d}$ ta có:

$x.y=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

$x:y=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.d}{b.c}(y\ne 0)$

c. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu hạng tử đó :

Với mọi x, y, z €Q : x + y = z => x = z - y.

d. Chú ý

- Trong Q với những tổng đại số ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng một cách tùy ý.

- Phép nhân trong Q có đầy đủ các tính chất cơ bản như phép nhân trong Z : giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối.

- Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có số nghịch đảo.

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ luôn cho ta kết quả là một số hữu tỉ.

B. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $Tìm x \in Q biết: \frac{-2}{5}+\frac{5}{6}x=\frac{-4}{15}$

Giải:

$\frac{-2}{5}+\frac{5}{6}x=\frac{-4}{15}\iff \frac{5}{6}x\frac{-4}{15}-\frac{-2}{5}$

$\iff \frac{5}{6}x=\frac{2}{15}\iff x=\frac{2}{15}:\frac{5}{6}\iff x=\frac{4}{25}$

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:

$a)\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)+\left(\frac{-2}{5}+\frac{6}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)$

$b)\left(\frac{-2}{5}+\frac{1}{4}:\frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17}-\frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).\left(1-\frac{5}{13}:\frac{5}{13}\right)$

Giải:

$a)\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)+\left(\frac{-2}{5}+\frac{6}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)$

$=\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{11}+\frac{-2}{5}+\frac{6}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)$

$=\left(\frac{-3-1}{5}+\frac{5+6}{11}\right):\left(\frac{-3}{7}\right)=0:\left(\frac{-3}{7}\right)=0$

$b)\left(\frac{-2}{5}+\frac{1}{4}:\frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17}-\frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).\left(1-\frac{5}{13}:\frac{5}{13}\right)$

$=\left(\frac{-2}{5}+\frac{1}{4}:\frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17}-\frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).(1-1)$

$=\left(\frac{-2}{5}+\frac{1}{4}:\frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17}-\frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).0=0$

Ví dụ 3: Tìm x biết: $\frac{x+2014}{2}+\frac{2x+4028}{7}=\frac{x+2014}{5}+\frac{x+2014}{6}$

Giải:

Phương trình đã cho tương đương:

$(x+2014)\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{7}\right)=(x+2014)\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)$

$\iff (x+2014)\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{7}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=0$

Dễ thấy $\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{7}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)\ne 0 nên suy ra x+2014=0 hay x=-2014$

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

$a) A=1-\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{1-{\displaystyle \frac{3}{1-4}}}}}$

$b) B=-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}-\frac{1}{100000}-\frac{1}{1000000}$

Giải:

a) Ta có: $A=1-\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{1-{\displaystyle \frac{3}{1-4}}}}}=1-\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{1+1}}}=1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$b) B=-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}-\frac{1}{100000}-\frac{1}{1000000}$

$=-(0,1+0,01+0,00,+0,000,+0,00001+0,000001)=-0,111111$

Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết rằng: $\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)(z-3)=0$ và x+1=y+2=z+3.

Giải:

Ta có: $\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)(z-3)=0$

$\iff x-\frac{1}{5}=0 hoặc y+\frac{1}{2}=0 hoặc z-3 = 0$

$\iff x=\frac{1}{5} hoặc y=\frac{-1}{2} hoặc z=3$

$* Nếu x=\frac{1}{5}, kết hợp với x+1=y+2=z+3 ta suy ra y=\frac{-4}{5};z=\frac{-9}{5}$

$* Nếu y=-\frac{1}{2}, kết hợp với x+1=y+2=z+3 ta suy ra y=\frac{1}{2};z=\frac{-3}{2}$

$* Nếu z=3, tương tự suy ra x=5; y=4$

Vậy ta cso ba bộ số thỏa mãn đó là:

$\frac{1}{5};\frac{-4}{5};\frac{-9}{5} hoặc \frac{1}{2}; \frac{-1}{2}; \frac{-3}{2} hoặc 5; 4; 3$

Ví dụ 6: Tìm x $\in$Q biết: $\left(\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{3}\right)<0$

Giải:

Ta có: $\left(\frac{2}{3}x-\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{3}\right)<0$

$\iff \left[\frac{2}{3}\left(x-\frac{3}{10}\right)\right]\left[\frac{3}{5}\left(x+\frac{10}{9}\right)\right]<0$

$\iff \frac{2}{3}.\frac{3}{5}\left(x-\frac{3}{10}\right)\left(x+\frac{9}{10}\right)<0$

$\iff \left(x-\frac{3}{10}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)<0$

Từ đó ta suy ra: $x-\frac{3}{10}và x+\frac{10}{9}$trái dấu, mặt khác ta lại có $x-\frac{3}{10}<x+\frac{10}{9}$

Nên ta suy ra: $x-\frac{3}{10}<0 và x+\frac{10}{9}>0 \iff -\frac{10}{9}<x<\frac{3}{10}$

Vậy các số hữu tỉ thỏa mãn bài toán là: $-\frac{10}{9}<x<\frac{3}{10}$

Ví dụ 7: Tính: $A=\frac{-1}{2003.2002}-\frac{1}{2002.2001}-\frac{1}{2001.2000}-...-\frac{1}{3.2}-\frac{1}{2.1}$

Giải:

Dễ thấy: $\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$\Rightarrow A=-\left(\frac{1}{2003.2002}+\frac{1}{2002.2001}+\frac{1}{2001.2000}+...+\frac{1}{3.2}+\frac{1}{2.1}\right)$

$=-\left(\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}+...+1-\frac{1}{2}\right)$

$=-\left(1-\frac{1}{2003}\right)=\frac{-2002}{2003}$

Ví dụ 8: Tìm x biết x $\notin${1;3;8;20} và:

$\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{5}{(x-3)(x-8)}+\frac{12}{(x-8)(x-20)}-\frac{1}{x-20}=-\frac{3}{4}$

Giải:

Ta có: $\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{5}{(x-3)(x-8)}+\frac{12}{(x-8)(x-20)}-\frac{1}{x-20}$

$=\frac{(x-1)-(x-3)}{(x-3).(x-1)}+\frac{(x-3)-(x-8)}{(x-8).(x-3)}+\frac{(x-8)-(x-20)}{(x-20).\left)\right(x-8)}-\frac{1}{x-20}$

$=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-8}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-20}-\frac{1}{x-8}--\frac{1}{x-20}=-\frac{1}{x-1}$

$\Rightarrow -\frac{1}{x-1}=\frac{-3}{4}\Rightarrow x=\frac{7}{3}$

Ví dụ 9*: Viết 5 số hữu tỉ trên một vòng tròn sao cho trong đó tích hai số cạnh nhau 1 luôn bằng $\frac{1}{36}$. Tìm cách viết đó.

Giải :

Gọi 5 số hữu tỉ đó là a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ dễ thấy các số này đều khác 0.

Ta có: a₁a₂ = a₂a₃$\Rightarrow$a₁=a₃

Tương tự ta có: a₂ = a₄, a₃ = a₅

Mà: a₁a₂ = a₅a₁ $\Rightarrow$a₂ = a₅.

$\Rightarrow$a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a_{5 =} $\pm \frac{1}{6}$

Ví dụ 10** : a) Cho 13 số hữu ti, trong đó tổng của bốn số bất kì nào cũng là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 13 số đó là một số dương.

b) Cho 13 số hữu tỉ, trong đó tích của 3 số bất kì nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng 13 số đã cho đều là số âm.

Giải :

Giải sử 13 số đã cho lần lượt là : a₁; a₂; a₃;...; a₁₂; a₁₃.

a) Ta xét tổng sau:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ > 0

a₂ + a₃ + a₄ + a₅ > 0

a₃ + a₄ + a₅ + a₆ > 0

................

a₁₂ + a₁ + a₂ + a₃ > 0

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta dược: 4(a₁ + a₂ + a₃ + .... + a₁₃) > 0

$\Rightarrow$(a₁ + a₂ + a₃ + .... + a₁₃) > 0

Vậy tổng của 12 số đã cho là một số dương.

b) Xét 13 tích sau: a₁.a₂.a₃ < 0; a₂.a₃.a₄ < 0; ....; a₁₃.a₁.a₂ < 0

Suy ra: (a₁.a₂.a₃....a₁₃)³ < 0$\Rightarrow$a₁.a₂.a₃....a₁₃ < 0

Ta thấy tích mỗi nhóm ba số là một số âm nên tích của 4 nhóm như vậy là số dương suy ra số được tách riêng ra là một số âm.

Tương tự cho 13 số và ta được 13 số đã cho đều là số âm.

C. Bài tập tự luyện.

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức:

$a) A=\left(-\frac{5}{9}\right).\frac{3}{11}+\left(-\frac{13}{18}\right).\frac{3}{11}$

$b) B = \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}}{{\displaystyle \frac{13}{4}}-{\displaystyle \frac{13}{5}}+{\displaystyle \frac{13}{7}}+{\displaystyle \frac{13}{11}}}$

Bài tập 2: Tính nhanh:

$M=\frac{75-{\displaystyle \frac{6}{13}}+{\displaystyle \frac{3}{17}}-{\displaystyle \frac{3}{19}}}{275-{\displaystyle \frac{22}{13}}+{\displaystyle \frac{11}{7}}-{\displaystyle \frac{11}{19}}}$

$N=\frac{1}{13}+\frac{3}{13.23}+\frac{3}{23.33}+...+\frac{3}{2303.2306}$

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức:

$D=\frac{2.2306}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+2}}+{\displaystyle \frac{1}{1+2+3}}+{\displaystyle \frac{1}{1+2+3+4}}+...+{\displaystyle \frac{1}{1+2+...+2306}}}$

Bài tập 4: Tìm x biết:

a) 7(x - 1) + 2x(1 - x) = 0.

b) $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}:x=\frac{2}{5}$

Bài tập 5: Tính:

$T=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)...\left(\frac{1}{2014}-1\right)\left(\frac{1}{2015}-1\right)$

Bài tập 6: Tồn tại hay không hai số dương a và b khác nhau sao cho:

$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}$

Bài tập 7: Tìm x biết:

$\frac{x+1}{2014}+\frac{x+2}{2013}+\frac{x+3}{2012}=\frac{x+10}{2005}+\frac{x+11}{2004}+\frac{x+12}{2003}$

Bài tập 8: Tìm x biết x $\notin${-2;-5;-10;-17} và:

$\frac{3}{(x+2)(x+5)}+\frac{5}{(x+5)(x+10)}+\frac{7}{(x+10)(x+17)}=\frac{x}{(x+2)(x+17)}$

Bài tập 9* : Cho 1000 số, trong đó tích 3 số bất kì là một số dương. Chứng minh rằng 1000 số ấy đều dương.

Bài tập 10* : Viết 120 số 1 hoặc —1 theo một vòng tròn. Biết rằng tích của ba số bất kì cạnh nhau trong vòng tròn đó bằng −1. Tính tổng của 120 số đó.

Bài tập 11* : Viết 2n + 1 số hữu tỉ trên một vòng tròn trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng $\frac{1}{100}$(với n là số nguyên dương). Tìm các số đó.

Bài tập 12* : Tính $P=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2014}}}{{\displaystyle \frac{2014}{1}}+{\displaystyle \frac{2013}{2}}+{\displaystyle \frac{2012}{3}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2014}}}$