Đường phân giác của một góc trong tam giác cgia cạnh đối diện với gọc đó thành hai đoạn thẳng theo tỉ số nào?
1. Định lý
?1 Vẽ tam giác ABC, biết
AB=3cm;AC=6cm;góc A=100^o
Dựng đường thẳng phân giác  AD của góc A(bẳng compa,thước đo độ), đo độ dài các đoạn thẳng DB,DC rồi so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{DB}{DC}$

Ta có $\frac{AB}{AC}$= $\frac{DB}{DC}$ (đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy).Kết quả trên đúng với tất cả các tam giác nhờ định lý sau đây:
Định lý:
Trong tam giác,đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ cạnh lệ với hai kề hai đoạn ấy.

GT	$∆$ABC AD là tia phân giác của $\stackrel{⏜}{BAC}$ (D $\in$ BC)
KL	$\frac{AB}{AC}$= $\frac{DB}{DC}$

Chứng minh
Qua đỉnh B vẽ đg thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E
Ta có: 
$\stackrel{⏜}{BAE}$ =  $\stackrel{⏜}{BEA}$(giả thiết)
Vì BE//AC, nên góc BEA = CAE (so le trong)
Suy ra $\stackrel{⏜}{BAE}$=$\stackrel{⏜}{BEA}$. Do đó $∆$ABE cân tại B, suy ra BE = AB
Áp dụng hệ của của định lý Ta-lét với $∆$DAC, ta có:
Suy ra: $\frac{DB}{DC}$= $\frac{BE}{AC}$.

2. chú ý
Định lý vẫn đúng đối với phân giác của góc ngoài của tam giác.trong hình 22 ta có:
$\frac{D\text{'}B}{D\text{'}C}$=$\frac{AB}{AC}$(AB khác AC)
?2.Xem hình 23a
 a)Tính x/y
 b)Tính x khi y = 5

BÀI TẬP

15.Tính trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất 

Hình 24.
16. $∆$ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n và AD là đc phân giác.Chứng minh rằng tỉ số diện tích của $∆$ABD và diện tích của $∆$ACD bằng m/n.

17.Cho $∆$ABC với đường trung tuyến AM.Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMCa cắt cạnh AC ở E.Chứng minh rằng DE//BC 

LUYỆN TẬP

18.$∆$ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của $\stackrel{⏜}{BAC}$ cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB,EF
19.Cho hình thang ABCD (AB//CD).Đường thẳng a song song với DC, cắt cạnh AD với BC theo thứ tự tại E và F.chứng minh rằng:
a) $\frac{AE}{ED}$=$\frac{BF}{FC}$;                         b) $\frac{AE}{AD}$=$\frac{BF}{BC}$;                   c) $\frac{DE}{DA}$=$\frac{CF}{CB}$

20. Cho hình thang ABCD (AB//CD).Hai đường chéo AC VÀ BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh  bên AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.26). Chứng minh rằng OE = OF.
21.a) Cho $∆$ABC với đường trung tuyên AM và đường phân giác AD. Tính diện tích $∆$ADM, biết AB = m, AC = N (n>m) và diện tích của $∆$ABC là S.
b) Cho n = 7cm,m = 3cm, hỏi diện tích $∆$ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích $∆$ABC?
 22.Đố.Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:
               O1 = O2 = O3 = O4 = O5 = O6.
Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ các kích thướng đã cho.