BÀI 11: ĐỊNH LÍ & CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ

Chuyên mục

Bộ sách Chương trình hiện hành

Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng:
“Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng bằng nhau” (H.3.45).
Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể.
Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không ?
1. Định lí. Giả thiết, kết luận của định lí
* Trong bài 8, ta suy luận trang 42 khẳng định “(Nếu) hai góc đối đỉnh thì (hai góc đó) bằng nhau” đã được suy ra từ điều đúng đã biết là “ hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180^o”. Đó là một định lí.

* Trong một định lí ta cần phân biệt giả thiết và kết luận của nó. Chẳng hạn:

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:

Nếu …. thì…

- Phần giữa từ “ nếu” và từ “thì” thì giả thiết của định lí

- Phần sau từ “ thì” là kết luận của định lí.

Chẳng hạn, các tính chất của hai đường thẳng song song đều là một định lí.

Ví dụ:

Trong định lí “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”, thì có;

+ Giả thiết là “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song”;

+ Kết luận là “Nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”

Ta có thể viết giả thiết và kết luận của định lí bằng kí hiệu như sau:

GT	d, d’,d” là các đường thẳng d’ // d”, d $⊥$ d’
KL	d $⊥$ d”

Luyện tập 1:
Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí:
“ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”
Hướng dẫn giải:

GT	$\hat{O 1}$ và $\hat{O 2}$ đối đỉnh
KL	$\hat{O 1} = \hat{O 2}$

2. Thế nào là chứng minh định lí?
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và nhũng khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.
Chẳng hạn, ta chứng minh định lí nói trong tình huống mở đầu “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” như sau:

Chứng minh (Hình 3.46)

a // b, c cắt a tại A, c cắt b tại B

$\hat{A 1}$ , $\hat{B 1}$ là hai góc đồng vị.

\hat{A 1}

\hat{B 1}

Qua điểm B kẻ đường thẳng b’ sao cho góc $\hat{A 1}$ = $\hat{B 2}$ Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và b’ hai góc đồng vị bằng nhau $\hat{A 1}$ = $\hat{B 2}$ .
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song có a và b’ song song với nhau. Suy ra qua B có hai đường thẳng b và b’ cùng song song với a. Theo tiên đề Euclid b’ trùng b. Từ đó suy ra $\hat{A 1}$ = $\hat{B 1}$ (vì cùng bằng $\hat{B 2}$ ).
Luyện tập 2
Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”

Hướng dẫn giải:

GT	$\hat{A 1}$ và $\hat{A 2}$ là 2 góc kề bù, $\hat{A 1}$ = $\hat{A 2}$
KL	$\hat{A 1}$ = $\hat{A 2}$ = 90^o

Ta có: $\hat{A 1}$ + $\hat{A 2}$ = 180⁰( 2 góc kề bù)

Mà $\hat{A 1}$ = $\hat{A 2}$

=> $\hat{A 1}$ + $\hat{A 2}$ = 180^o

=> 2. $\hat{A 1}$ = 180^o

Vậy $\hat{A 1}$ = $\hat{A 2}$ = 90^o

Tranh luận

Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?
Hướng dẫn giải:
Em thấy bạn Vuông nói đúng
Để chứng minh điều này, ta có thể chỉ ra trường hợp 2 góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh.
Ví dụ:

$\hat{O 1}$ = $\hat{O 2}$ nhưng hai góc này không đối đỉnh
BÀI TẬP
Bài 3.24:
Có thể coi định lí: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?
Hướng dẫn giải:

Giả sử có 2 đường thẳng phân biệt a,b cùng vuông góc với một đường thẳng c.
Ta có: $\hat{A 1}$ = $\hat{B 2}$ = 90^o mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a//b (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)
Như vậy, định lí trên có thể được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Bài 3.25:
Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: “ Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó, ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?
Hướng dẫn giải:

GT	a // b, a $⊥$ c
KL	b $⊥$ c

Giả sử cho 2 đường thẳng song song a và b, đường thẳng c vuông góc với a. Ta phải chứng minh c cũng vuông góc với b. Thật vậy:
Vì a//b nên $\hat{A 1}$ = $\hat{B 1}$ ( 2 góc đồng vị), mà $\hat{A 1}$ =90^O nên $\hat{B 1}$ =90^O hay b⊥ c
Vậy một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Trong chứng minh trên, ta đã sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Bài 3.26:

Cho góc xOy không phải là góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(1) Nếu Ot là tia phân giác của góc xOy thì $\hat{x O t}$ = $\hat{t O y}$
(2) Nếu tia Ot thỏa mãn $\hat{x O t}$ = $\hat{t O y}$ thì Ot là tia phân giác của góc xOy.
Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng.
(Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác)
Hướng dẫn giải:
(1) đúng vì Ot là tia phân giác của góc xOy thì $\hat{x O t}$ = $\hat{t O y}$ = $\frac{1}{2} \hat{x O y}$
(2) sai

Gọi Ot’ là tia phân giác của góc xOy, ta có: $\hat{x O t'}$ = $\hat{t' O y}$
Xét tia Ot là tia đối của tia Ot' thì $\hat{x O t'}$ + $\hat{x O t}$ =180^o; $\hat{t O y}$ + $\hat{t' O y}$ =180^o (kề bù)
Ta có: $\hat{x O t}$ = $\hat{t O y}$ nhưng Ot không là tia phân giác của góc xOy.

Bài học/ Tin tức liên quan của bài học/tin tức trong bộ sách Chương trình hiện hành

Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

BÀI 16: TAM GIÁC CÂN. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

* Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Trong hình 4.58, tam giác cân ABC (AB = AC) được gọi là...